힙(Heap)

1. 힙 (Heap)이란?

• 힙 : 데이터에서 최대값과 최소값을 빠르게 찾기 위해 고안된 완전 이진 트리(Complete Binary Tree)
  • 완전 이진 트리 : 노드를 삽입할 때 최하단 왼쪽 노드부터 차례대로 삽입하는 트리

• 힙을 사용하는 이유
  • 배열에 데이터를 넣고, 최대값과 최소값을 찾으려면 O(n)이 걸림
  • 이에 반해, 힙에 데이터를 넣고, 최대값과 최소값을 찾으면, O(logn)이 걸림
  • 우선순위 큐와 같이 최대값 또는 최소값을 빠르게 찾아야 하는 자료구조 및 알고리즘 구현 등에 활용됨

2. 힙 (Heap) 구조

• 힙은 최대값을 구하기 위한 구조 (최대 힙, Max Heap) 와, 최소값을 구하기 위한 구조 (최소 힙, Min Heap)로 분류할 수 있음
• 힙은 다음과 같이 두 가지 조건을 가지고 있는 자료구조임
  1. 각 노드의 값은 해당 노드의 자식 노드가 가진 값보다 크거나 같다(최대 힙의 경우)
     • 최소 힙의 경우는 각 노드의 값은 해당 노드의 자식 노닥 가진 값보다 크거나 작음
  2. 완전 이진 트리 형태를 가짐

힙과 이진 탐색 트리의 공통점과 차이점

• 공통점 : 힙과 이진 탐색 트리는 모두 이진 트리임
• 차이점 : 
  • 힙은 각 노드의 값이 자식 노드보다 크거나 같음(Max Heap의 경우)
  • 이진 탐색 트리는 왼쪽 자식 노드의 값이 가장 작고, 그 다음 부모 노드, 그 다음 오른쪽 자식 노드 값이 가장 큼
  • 힙은 이진 탐색 트리의 조건인 자식 노드에서 작은 값은 왼쪽, 큰 값은 오른쪽이라는 조건은 없음
    • 힙은 왼쪽 및 오른쪽 자식 노드의 값은 오른쪽이 클 수도 있고, 왼쪽이 클 수도 있음
• 이진 탐색 트리는 탐색을 위한 구조, 힙은 최대/최소값 검색을 위한 구조 중 하나로 이해하면 됨

3. 힙 (Heap) 동작

• 데이터를 힙 구조에 삽입, 삭제하는 과정을 그림을 통해 이해

힙에 데이터 삽입하기 - 기본 동작

• 힙은 완전 이진 트리이므로, 삽입할 노드는 기본적으로 왼쪽 최하단부 노드부터 채워지는 형태로 삽입

힙에 데이터 삽입합기 - 삽입할 데이터가 힙의 데이터보다 클 경우(Max Heap의 예)

• 먼저 삽입된 데이터는 완전 이진 트리 구조에 맞추어, 최하단부 왼쪽 노드부터 채워짐
• 채워진 노드 위치에서, 부모 노드보다 값이 클 경우, 부모 노드와 위치를 바꿔주는 작업을 반복함 (swap)

힙의 데이터 삭제하기 (Max Heap의 예)

• 보통 삭제는 최상단 노드(root 노드)를 삭제하는 것이 일반적임
  • 힙의 용도는 최대값 또는 최소값을 root 노드에 놓아서, 최대값과 최소값을 바로 꺼내 쓸 수 있도록 하는 것임
• 상단의 데이터 삭제시 가장 최하단부 왼쪽에 위치한 노드 (일반적으로 가장 마지막에 추가하 노드)를 root 노드로 이동
• root 노드의 값이 child node보다  작을 경우, root 노드의 child node 중 가장 큰 값을 가진 노드와 root 노드 위치를 바꿔주는 작업을 반복함

4. 힙 (Heap) 구현

힙과 배열

• 일반적으로 힙 구현시 배열 자료구조를 활용함
• 배열은 인덱스가 0번부터 시작하지만, 힙 구현의 편의를 위해 root 노드 인덱스 번호를 1로 지정하면 구현이 좀 더 수월함
  • 부모 노드 인덱스 번호(parent node's index) = 자식 노드 인덱스 번호 (child node's index) / 2
    
    • JAVA에서는 / 연산자로 몫을 구할 수 있음
  • 왼쪽 자식 노드 인덱스 번호 (left child node's index) = 부모 노드 인덱스 번호 (parent node's index) * 2
  • 오른쪽 자식 노드 인덱스 번호 (right child node's index) = 부모 노드 인덱스 번호 (parent node's index) * 2 + 1

힙에 데이터 삽입 구현 예(Max Heap의 예)

힙 클래스 구현1

public static class Heap {
    public ArrayList<Integer> heapArray = null;

    public Heap(Integer data) {
        heapArray = new ArrayList<Integer>();

        heapArray.add(null);
        heapArray.add(data);
    }

}

힙 클래스 구현2 - insert1

• 인덱스 번호는 1번부터 시작하도록 변경

public boolean insert(Integer data) {
    if(heapArray == null) {
        heapArray = new ArrayList<Integer>();

        heapArray.add(null);
        heapArray.add(data);
    }else {
        heapArray.add(data);
    }
    return true;
}

힙 클래스 구현3 - insert2

• 삽입한 노드가 부모 노드의 값보다 클 경우, 부모 노드와 삽입한 노드 위치를 바꿈
• 삽입한 노드가 루트 노드가 되거나, 부모 노드보다 값이 작거나 같을 경우까지 반복

힙 구현에 사용된 Collections.swap() 메서드 사용법 이해하기

• swap이란, 두 데이터의 위치를 맞바꾸는 것을 의미함
• swap 함수를 별도로 구현할 수도 있지만, JAVA에서는 Collections 패키지에서 swap() 메서드를 제공해주고 있음
  • 하나의 배열 안에 있는 두 데이터의 위치를 서로 맞바꾸고 싶을 때 사용 가능
• Collections.swap(List list, int a, int b)
• list : 스왑할 데이터들이 들어 있는 배열 변수
• a : 스왑할 데이터 인덱스 번호
• b : 스왑할 데이터 인덱스 번호

힙에 데이터 삭제 구현 예(Max Heap의 예)

힙 클래스 구현4 - delete1

• 보통 삭제는 최상단 노드 (root 노드)를 삭제하는 것이 일반적임
  • 힙의 용도는 최대값 또는 최소값을 root노드에 놓아서, 최대값과 최소값을 바로 꺼내 쓸 수 있도록 하는 것임

힙 클래스 구현4 - delete2

• 상단의 데이터 삭제시, 가장 최하단부 왼쪽에 위치한 노드 (일반적으로 가장 마지막에 추가한 노드)를 root 노드로 이동
• root 노드의 값이 child node보다 작을 경우, root shemdml child node 중 가장 큰 값을 가진 노드와 root 노드 위치를 바꿔주는 작업을 반복함 (swap)

public Integer pop() {
    Integer returned_data, popped_idx, left_child_popped_idx, right_child_popped_idx; 

    if (this.heapArray == null) {
        return null;
    } else {
        returned_data = this.heapArray.get(1);
        this.heapArray.set(1, this.heapArray.get(this.heapArray.size() - 1));
        this.heapArray.remove(this.heapArray.size() - 1);
        popped_idx = 1;

        while (this.move_down(popped_idx)) {
            left_child_popped_idx = popped_idx * 2;
            right_child_popped_idx = popped_idx * 2 + 1;

            // CASE2: 오른쪽 자식 노드만 없을 때
            if (right_child_popped_idx >= this.heapArray.size()) {
                if (this.heapArray.get(popped_idx) < this.heapArray.get(left_child_popped_idx)) {
                    Collections.swap(this.heapArray, popped_idx, left_child_popped_idx);
                    popped_idx = left_child_popped_idx;
                }
            // CASE3: 왼쪽/오른쪽 자식 노드가 모두 있을 때                    
            } else {
                if (this.heapArray.get(left_child_popped_idx) > this.heapArray.get(right_child_popped_idx)) {
                    if (this.heapArray.get(popped_idx) < this.heapArray.get(left_child_popped_idx)) {
                        Collections.swap(this.heapArray, popped_idx, left_child_popped_idx);
                        popped_idx = left_child_popped_idx;
                    } 
                } else {
                    if (this.heapArray.get(popped_idx) < this.heapArray.get(right_child_popped_idx)) {
                        Collections.swap(this.heapArray, popped_idx, right_child_popped_idx);
                        popped_idx = right_child_popped_idx;
                    } 
                }
            }
        }

        return returned_data;
    }
}

public boolean move_down(Integer popped_idx) {
    Integer left_child_popped_idx, right_child_popped_idx;

    left_child_popped_idx = popped_idx * 2;
    right_child_popped_idx = popped_idx * 2 + 1;

    // CASE1: 왼쪽 자식 노드도 없을 때 (자식 노드가 하나도 없을 때)
    if (left_child_popped_idx >= this.heapArray.size()) {
        return false;
    // CASE2: 오른쪽 자식 노드만 없을 때
    } else if (right_child_popped_idx >= this.heapArray.size()) {
        if (this.heapArray.get(popped_idx) < this.heapArray.get(left_child_popped_idx)) {
            return true;
        } else {
            return false;
        }
    // CASE3: 왼쪽/오른쪽 자식 노드가 모두 있을 때
    } else {
        if (this.heapArray.get(left_child_popped_idx) > this.heapArray.get(right_child_popped_idx)) {
            if (this.heapArray.get(popped_idx) < this.heapArray.get(left_child_popped_idx)) {
                return true;
            } else {
                return false;
            }
        } else {
            if (this.heapArray.get(popped_idx) < this.heapArray.get(right_child_popped_idx)) {
                return true;
            } else {
                return false;
            }
        }
    }
}